26.2 : Формула Эйлера для колонн с штыревыми окончаниями

В строительной инженерии решающим фактором является устойчивость колонн при сжимающих осевых нагрузках, называемых потерей устойчивости. Типичный пример представляет собой колонну PQ, которая соединена штырями на обоих концах и подвергается центральной осевой нагрузке F, приложенной на одном конце, с силой реакции F’ = -F на другом конце. Здесь важно понимать, что когда приложенная нагрузка превышает критическую, происходит потеря устойчивости, поскольку система становится неустойчивой.

Чтобы рассчитать критическую нагрузку, представьте себе колонну PQ в виде вертикальной балки. Рассмотрим точку О, расположенную на кривой упругости балки на расстоянии x от свободного конца P. При приложении нагрузки точка O отклоняется на расстояние y от своего первоначального вертикального положения. В этот момент изгибающий момент в точке O можно описать второй производной его отклонения y по x, что символизирует поворот к пониманию поведения балки под нагрузкой.

Где f определяется как,

Это уравнение имеет общее решение, состоящее из синуса и косинуса. Граничные значения системы дают коэффициенты решения.

Решение требует, чтобы синусоидальный член был равен нулю, что дает выражение для критической нагрузки. Это выражение известно как формула Эйлера.

Подстановка формулы Эйлера обратно в дифференциальное уравнение дает выражение для кривой упругости колонны после потери устойчивости.

Здесь важно отметить, что формула Эйлера выведена из предположения, что перед нагружением колонна совершенно прямая, однородная и изотропная, а осевая нагрузка прикладывается идеально вдоль вертикальной оси.