Nell'ingegneria strutturale, la stabilità delle colonne sotto carichi assiali di compressione è una considerazione critica, descritta come instabilità. Un tipico esempio riguarda una colonna PQ, collegata tramite perni ad entrambe le estremità e soggetta ad un carico assiale centrico F applicato ad un'estremità, con una forza di reazione F’ = -F all'altra estremità. In questo caso è fondamentale comprendere che quando un carico applicato supera il carico critico, si verifica un'instabilità poiché il sistema diventa instabile.

Per calcolare il carico critico, immagina la colonna PQ come una trave verticale. Consideriamo il punto O, situato sulla curva elastica della trave, ad una distanza x dall'estremità libera P. Con l'applicazione del carico, il punto O viene deviato di una distanza y dalla sua posizione verticale originaria. A questo punto, il momento flettente nel punto O può essere descritto dalla derivata seconda della sua deflessione, y, rispetto a x, che simboleggia un perno verso la comprensione del comportamento della trave sotto sforzo.

Dove f è definito come:

Quest’equazione ha una soluzione generale con termini seno e coseno. I valori al contorno del sistema danno i coefficienti della soluzione.

La soluzione richiede che il termine seno sia zero, dando l'espressione del carico critico. Questa espressione è nota come formula di Eulero.

Sostituendo nuovamente la formula di Eulero nell'equazione differenziale si ottiene l'espressione della curva elastica della colonna dopo l'instabilità.

Qui è importante notare che la formula di Eulero deriva dal presupposto che prima del carico la colonna sia perfettamente diritta, omogenea e isotropa e che il carico assiale sia applicato perfettamente lungo l'asse verticale.