21.8 : Dallo Spazio di Stato alla Funzione di Trasferimento

La conversione della rappresentazione dello spazio di stato, in una funzione di trasferimento è un processo fondamentale nell'analisi di sistema. Fornisce un metodo per la transizione da una descrizione del dominio del tempo, a una rappresentazione del dominio della frequenza, che è fondamentale per semplificare l'analisi e la progettazione dei sistemi di controllo.
Il processo di trasformazione, inizia con la rappresentazione dello spazio di stato, caratterizzata dall'equazione di stato e dall'equazione di output. Queste equazioni sono tipicamente rappresentate come:

Dove x(t) è il vettore di stato, u(t) è il vettore di input, y(t) è il vettore di output e A, B, C e D sono matrici che definiscono la dinamica del sistema.

Per convertire queste equazioni nel dominio della frequenza, si applica la trasformata di Laplace, assumendo condizioni iniziali pari a zero. Quindi l'equazione di stato viene risolta per X(s).

Si consideri un sistema, con le matrici A, B, C e D date. Il processo di trasformazione comporta il calcolo dell'inverso di (SI−A), la sostituzione dei valori noti e la semplificazione dell'espressione, per ottenere la funzione di trasferimento. Questa trasformazione è fondamentale per analizzare il comportamento del sistema, progettare i controller e comprendere la risposta in frequenza del sistema.

In conclusione, la conversione della rappresentazione dello spazio di stato in una funzione di trasferimento, comporta l'applicazione della trasformata di Laplace, la risoluzione dell'equazione di stato nel dominio della frequenza e la derivazione della matrice della funzione di trasferimento, che si semplifica in una funzione di trasferimento scalare, per sistemi a singolo ingresso e singola uscita (SISO).