21.8 : Zustandsraum zur Übertragungsfunktion

Die Umwandlung der Zustandsraumdarstellung in eine Übertragungsfunktion ist ein grundlegender Prozess der Systemanalyse. Sie bietet eine Methode für den Übergang von einer Zeitbereichsdarstellung zu einer Frequenzbereichsdarstellung, was für die Vereinfachung der Analyse und des Entwurfs von Steuerungssystemen von entscheidender Bedeutung ist.

Der Transformationsprozess beginnt mit der Zustandsraumdarstellung, die durch die Zustandsgleichung und die Ausgabegleichung gekennzeichnet ist. Diese Gleichungen werden normalerweise wie folgt dargestellt:

Dabei ist x(t) der Zustandsvektor, u(t) der Eingabevektor, y(t) der Ausgabevektor und A, B, C und D sind Matrizen, die die Systemdynamik definieren.

Um diese Gleichungen in den Frequenzbereich zu überführen, wird die Laplace-Transformation angewendet, wobei die Anfangsbedingungen Null annehmen. Dann wird die Zustandsgleichung nach X(s) aufgelöst.

Betrachten Sie ein System mit gegebenen Matrizen A, B, C und D. Der Transformationsprozess umfasst die Berechnung der Umkehrung von (SI−A), das Ersetzen der bekannten Werte und das Vereinfachen des Ausdrucks, um die Übertragungsfunktion zu erhalten. Diese Transformation ist entscheidend für die Analyse des Systemverhaltens, das Entwerfen von Reglern und das Verständnis der Frequenzantwort des Systems.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Konvertierung der Zustandsraumdarstellung in eine Übertragungsfunktion das Anwenden der Laplace-Transformation, das Lösen der Zustandsgleichung im Frequenzbereich und das Ableiten der Übertragungsfunktionsmatrix umfasst, die sich zu einer skalaren Übertragungsfunktion für Systeme mit einem Eingang und einem Ausgang (SISO) vereinfachen lässt.