23.5 : Kararlılık

Doğrusal zamanla-değişmeyen (DZD) bir sistemin zaman tepkisi, geçici ve kalıcı rejim tepkileri olarak ikiye ayrılabilir. Geçici rejim tepkisi, sistemin girdideki bir değişikliğe verdiği ilk tepkiyi temsil eder ve zamanla sıfıra düşer. Buna karşılık, kalıcı rejim tepkisi, geçici etkiler kaybolduktan sonra devam eden davranıştır.

Bir DZD sisteminin kararlılığı, kutuplar olarak bilinen karakteristik denkleminin kökleri tarafından belirlenir. Bir sistem, karakteristik denklemin tüm kökleri s düzleminin sol yarısında yer aldığında oluşan sınırlı bir girdi için sınırlı bir çıktı üretiyorsa kararlıdır. Herhangi bir kök s düzleminin sağ yarısında yer alıyorsa sistem kararsız hale gelir. Mutlak kararlılık, bir sistemin kararlı mı yoksa kararsız mı olduğunu gösterirken, bağıl kararlılık kararlılık derecesini ölçer.

Bu kavramların açıklayıcı bir örneği sarkaçtır. Rahatsız edilmediğinde, sarkaç statik bir denge durumunda durur ve bu denge konumu etrafındaki küçük hareketler için kararlılık gösterir. Bu kararlılık, sarkaç yer değiştirdiğinde ve sallanmasına izin verildiğinde korunur. Bu durumda, dış veya sürtünme kuvvetleri mevcuttur. Bu kuvvetler sönümlemeyi başlatır ve sistemin geçici rejim tepkisinin zamanla kademeli olarak azalmasına neden olur. Sonunda, sarkaç denge konumu etrafında kararlı bir harekete ulaşır ve kararlı bir sistemin özelliklerini gösterir.

Buna karşılık, sarkaç dengesiz bir denge konumundan kaydırılırsa, zaman tepkisi üstel büyüme göstererek sallanmaya başlar. Bu kısıtlanmamış hareket, sistem dengeye geri dönemediği ve salınımların genliği artmaya devam ettiği için dengesizliği ifade eder.

Geçici ve kalıcı rejim tepkileri arasındaki ayrımı ve kararlılık koşullarını anlamak, DZD sistemlerini analiz etmek ve tasarlamak için önemlidir. Sistemin tüm kutuplarının sol yarı s düzleminde olduğundan emin olarak, mühendisler kararlılığı garanti edebilir ve sistemin çeşitli girdilere yanıt olarak davranışını tahmin edebilir, bu da daha sağlam ve güvenilir sistem performansına yol açar.