23.5 : استقرار

يمكن تقسيم الاستجابة الزمنية لنظام خطي ثابت زمنيًا (LTI) إلى استجابات عابرة واستجابات ثابتة. تمثل الاستجابة العابرة رد الفعل الأولي للنظام تجاه تغيير في المدخلات وتتناقص إلى الصفر بمرور الوقت. على النقيض من ذلك، فإن الاستجابة الثابتة هي السلوك الذي يستمر بعد تلاشي التأثيرات العابرة.

يتم تحديد استقرار نظام (LTI) من خلال جذور معادلته المميزة والمعروفة بالأقطاب. يكون النظام مستقرًا إذا أنتج خرجًا محدودًا لمدخل محدود، والذي يحدث عندما تقع جميع جذور المعادلة المميزة في النصف الأيسر من المستوى s. إذا كان أي جذر يقع في النصف الأيمن من المستوى s، يصبح النظام غير مستقر. يشير الاستقرار المطلق إلى ما إذا كان النظام مستقرًا أم غير مستقر، بينما يقيس الاستقرار النسبي درجة الاستقرار.

البندول هو أحد الأمثلة التوضيحية لهذه المفاهيم، فعندما لا يتعرض البندول لأي اضطرابات فإنه يظل في حالة من التوازن الساكن ويظهر استقرارًا للحركات الصغيرة حول موضع التوازن، ويظل هذا الاستقرار قائمًا عندما يتحرك البندول ويُسمح له بالتأرجح. في هذه الحالة، تتواجد قوى خارجية أو احتكاكية. وتعمل هذه القوى على إدخال التخميد، مما يتسبب في انخفاض الاستجابة العابرة للنظام تدريجيًا بمرور الوقت. وفي النهاية، يحقق البندول حركة مستقرة حول موضع التوازن، مما يوضح خصائص النظام المستقر.

وعلى النقيض من ذلك، إذا تحرك البندول من موضع توازن غير مستقر، فإنه يبدأ في التأرجح مع إظهار استجابته للوقت نموًا أسيًا. هذه الحركة غير المقيدة تدل على عدم الاستقرار، حيث يفشل النظام في العودة إلى التوازن وتستمر سعة التذبذبات في الزيادة.

إن فهم التمييز بين الاستجابات المؤقتة والثابتة، إلى جانب شروط الاستقرار، أمر ضروري لتحليل وتصميم أنظمة LTI. ومن خلال ضمان وجود جميع أقطاب النظام في المستوى s في النصف الأيسر، يمكن للمهندسين ضمان الاستقرار والتنبؤ بسلوك النظام استجابةً لمدخلات مختلفة، مما يؤدي إلى أداء أكثر قوة وموثوقية للنظام.