23.5 : Stabilität

Die Zeitreaktion eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems kann in Übergangs- und Dauerreaktionen unterteilt werden. Die Übergangsreaktion stellt die anfängliche Reaktion des Systems auf eine Änderung der Eingabe dar und verringert sich mit der Zeit auf Null. Im Gegensatz dazu ist die Dauerreaktion das Verhalten, das bestehen bleibt, nachdem die Übergangseffekte abgeklungen sind.

Die Stabilität eines LTI-Systems wird durch die Wurzeln seiner charakteristischen Gleichung, die als Pole bezeichnet werden, bestimmt. Ein System ist stabil, wenn es für eine begrenzte Eingabe eine begrenzte Ausgabe erzeugt. Dies ist der Fall, wenn sich alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken Hälfte der s-Ebene befinden. Wenn eine beliebige Wurzel in der rechten Hälfte der s-Ebene liegt, wird das System instabil. Die absolute Stabilität gibt an, ob ein System stabil oder instabil ist, während die relative Stabilität den Grad der Stabilität misst.

Ein anschauliches Beispiel für diese Konzepte ist ein Pendel. Wenn es ungestört ist, befindet sich ein Pendel in einem Zustand statischen Gleichgewichts und zeigt Stabilität bei kleinen Bewegungen um diese Gleichgewichtsposition. Diese Stabilität bleibt erhalten, wenn das Pendel verschoben wird und schwingen kann. In diesem Fall wirken externe Kräfte oder Reibungskräfte. Diese Kräfte führen zu einer Dämpfung, wodurch die Übergangsreaktion des Systems mit der Zeit allmählich abnimmt. Schließlich erreicht das Pendel eine stabile Bewegung um die Gleichgewichtsposition und weist damit die Eigenschaften eines stabilen Systems auf.

Wird das Pendel dagegen aus einer instabilen Gleichgewichtslage ausgelenkt, beginnt es zu schwingen, wobei seine zeitliche Reaktion exponentiell zunimmt. Diese uneingeschränkte Bewegung weist auf Instabilität hin, da das System nicht ins Gleichgewicht zurückkehrt und die Schwingungsamplitude weiter zunimmt.

Das Verständnis des Unterschieds zwischen Übergangs- und Dauerzustandsreaktionen sowie der Bedingungen für Stabilität ist für die Analyse und Entwicklung von LTI-Systemen von entscheidender Bedeutung. Indem Ingenieure sicherstellen, dass sich alle Pole des Systems in der linken S-Ebene befinden, können sie Stabilität gewährleisten und das Verhalten des Systems als Reaktion auf verschiedene Eingaben vorhersagen, was zu einer robusteren und zuverlässigeren Systemleistung führt.