14.3 : Splot: Matematyka, grafika i sygnały dyskretne

W dowolnym układzie LTI (liniowy niezmienny w czasie) splot dwóch sygnałów jest oznaczany za pomocą operatora splotu, zakładając, że wszystkie warunki początkowe są zerowe. Całkę splotu można podzielić na dwie części: zerową odpowiedź wejściową lub naturalną oraz zerową odpowiedź w stanie wymuszonym, przy czym t_0 oznacza czas początkowy.

Aby uprościć całkę splotu, zakłada się, że zarówno sygnał wejściowy, jak i odpowiedź impulsowa są zerowe dla ujemnych wartości czasu. Proces splotu graficznego obejmuje cztery kroki: składanie, przesuwanie, mnożenie i całkowanie.

Rozważmy obwód RC z określonym sygnałem impulsowym wejściowym i odpowiedzią wyjściową. Początkowo składanie jest wykonywane przez stworzenie lustrzanego obrazu sygnału wejściowego wzdłuż osi y. Następnie następuje przesunięcie, w którym złożony sygnał jest przesuwany wzdłuż osi czasu. Następnie mnożenie złożonych i przesuniętych sygnałów odbywa się punkt po punkcie. Na koniec, integracja sygnału wynikowego w czasie daje wynik splotu. Proces ten można przedstawić graficznie.

W splocie dyskretnym w czasie odpowiedź systemu jest określana przez zastosowanie wejścia do układu dyskretnego w czasie i użycie odpowiedzi impulsowej i sumy splotu. Splot dyskretnego sygnału wejściowego x[n] i odpowiedzi impulsowej h[n] tworzy sumę splotu dla odpowiedzi systemu:

Ta suma oblicza sygnał wyjściowy y[n] w każdym dyskretnym kroku czasowym n. Zrozumienie zarówno splotu ciągłego, jak i dyskretnego jest niezbędne do analizy układów LTI i przewidywania ich zachowania w odpowiedzi na różne dane wejściowe.