28.1 : Equazioni Differenziali della Linea di Trasmissione

Le linee di trasmissione sono componenti essenziali dei sistemi di energia elettrica. Sono caratterizzate dalla natura distribuita di resistenza (R), induttanza (L) e capacità (C) per unità di lunghezza. Per analizzare queste linee, vengono impiegate equazioni differenziali per modellare le variazioni di tensione e corrente lungo la linea.

Modello di Sezione di Linea

Un circuito che rappresenta una sezione di linea di lunghezza Δ_x, aiuta a comprendere i parametri della linea di trasmissione. La tensione V(x) e la corrente i(x), vengono misurate dall'estremità ricevente. La linea ha un'impedenza di serie z=R+jωL per unità di lunghezza e un'ammettenza di shunt y=G+jωC per unità di lunghezza. Applicando la legge di Kirchhoff sulla tensione (KVL) e la legge di Kirchhoff sulla corrente (KCL) a questa configurazione, si derivano le relazioni per le variazioni di tensione e corrente lungo la linea.

Quando Δ_x si avvicina a zero, queste relazioni si trasformano in equazioni differenziali lineari, di primo ordine e omogenee

Queste equazioni differenziali, a loro volta, descrivono come la tensione e la corrente variano lungo la lunghezza della linea di trasmissione.

La risoluzione di queste equazioni differenziali, comporta la determinazione della costante di propagazione γ, che incapsula gli effetti sia dell'impedenza di serie che dell'ammettenza di shunt. Le soluzioni generali per tensione e corrente lungo la linea, includono due costanti di integrazione valutate utilizzando condizioni al contorno all'estremità ricevente.

L'impedenza caratteristica Z_c è un parametro chiave, che riflette l'impedenza intrinseca della linea di trasmissione. Utilizzando le soluzioni delle equazioni differenziali, la tensione e la corrente espresse lungo la linea in termini di funzioni iperboliche, cosh (coseno iperbolico) e sinh (seno iperbolico), funzioni matematiche utilizzate per modellare la distribuzione di tensione e corrente.

Parametri ABCD

I parametri ABCD, o costanti della linea di trasmissione, sono derivati ​​da queste funzioni iperboliche. Questi parametri forniscono una rappresentazione di matrice che mette in relazione la tensione e la corrente in qualsiasi punto lungo la linea, con i valori all'estremità ricevente. I parametri ABCD sono fondamentali per comprendere come i segnali si propagano attraverso la linea di trasmissione.

Costante di Propagazione

La costante di propagazione γ è una quantità complessa con parti reali e immaginarie che rappresentano rispettivamente attenuazione e sfasamento. Quando moltiplicata per la lunghezza della linea, questa costante diventa adimensionale ed è essenziale per valutare le funzioni iperboliche che descrivono la distribuzione di tensione e corrente.

I parametri ABCD precisi, sono validi per qualsiasi lunghezza di linea e offrono una soluzione esatta per il comportamento della linea di trasmissione. Per calcoli manuali pratici che coinvolgono linee di lunghezza corta e media, possono essere utilizzate delle approssimazioni. Questi parametri analizzano in modo completo le linee di trasmissione in varie condizioni operative, garantendo una trasmissione di potenza efficiente e affidabile.