28.1 : Équations différentielles des lignes de transmission

Les lignes de transmission sont des composants essentiels des systèmes d'alimentation électrique. Elles sont caractérisées par la nature distribuée de la résistance (R), de l'inductance (L) et de la capacité (C) par unité de longueur. Pour analyser ces lignes, des équations différentielles sont utilisées pour modéliser les variations de tension et de courant le long de la ligne.

Modèle de section de ligne

Un circuit représentant une section de ligne de longueur Δ_x permet de comprendre les paramètres de la ligne de transmission. La tension V(x) et le courant i(x) sont mesurés à partir de l'extrémité réceptrice. La ligne a une impédance série z=R+jωL par unité de longueur et une admittance de shunt y=G+jωC par unité de longueur. En appliquant la loi de tension de Kirchhoff (KVL) et la loi de courant de Kirchhoff (KCL) à cette configuration, déduisez les relations pour les variations de tension et de courant le long de la ligne.

Lorsque Δ_x s'approche de zéro, ces relations se transforment en équations différentielles linéaires, homogènes et du premier ordre.

Ces équations différentielles décrivent à leur tour comment la tension et le courant évoluent sur la longueur de la ligne de transmission.

La résolution de ces équations différentielles implique la détermination de la constante de propagation γ, qui encapsule les effets de l'impédance série et de l'admittance shunt. Les solutions générales pour la tension et le courant le long de la ligne incluent deux constantes d'intégration évaluées à l'aide des conditions aux limites à l'extrémité réceptrice.

L'impédance caractéristique Z_c est un paramètre clé, reflétant l'impédance intrinsèque de la ligne de transmission. En utilisant les solutions des équations différentielles, la tension et le courant exprimés le long de la ligne en termes de fonctions hyperboliques, cosh (cosinus hyperbolique) et sinh (sinus hyperbolique), fonctions mathématiques utilisées pour modéliser la distribution de tension et de courant.

Paramètres ABCD

Les paramètres ABCD, ou constantes de ligne de transmission, sont dérivés de ces fonctions hyperboliques. Ces paramètres fournissent une représentation matricielle qui relie la tension et le courant à n'importe quel point de la ligne aux valeurs à l'extrémité réceptrice. Les paramètres ABCD sont essentiels pour comprendre comment les signaux se propagent à travers la ligne de transmission.

Constante de propagation

La constante de propagation γ est une quantité complexe dont les parties réelles et imaginaires représentent respectivement l'atténuation et le déphasage. Multipliée par la longueur de la ligne, cette constante devient sans dimension et est essentielle pour évaluer les fonctions hyperboliques qui décrivent la distribution de tension et de courant.

Les paramètres ABCD précis sont valables pour n'importe quelle longueur de ligne et offrent une solution exacte pour le comportement des lignes de transmission. Pour les calculs manuels pratiques impliquant des lignes de courte et moyenne longueur, des approximations peuvent être utilisées. Ces paramètres analysent de manière exhaustive les lignes de transmission dans diverses conditions de fonctionnement, garantissant une transmission d'énergie efficace et fiable.