24.3 : Metodo del Luogo delle Radici

Un sistema di cruise control in un'auto, è progettato per mantenere automaticamente una velocità specifica, regolando il pedale dell'acceleratore. Il sistema misura continuamente la velocità del veicolo e apporta piccole regolazioni al pedale per raggiungere questo obiettivo. Il metodo del luogo delle radici, è particolarmente utile per comprendere come cambia il comportamento del cruise control in condizioni variabili, ad esempio quando l'auto procede in salita, in discesa o incontra una forte resistenza del vento.

Questo sistema può essere rappresentato da un diagramma a blocchi, con la sua funzione di trasferimento che fornisce un modello matematico. Per determinare le posizioni dei poli del sistema per diverse forze del pedale dell'acceleratore, la formula quadratica viene applicata al denominatore della funzione di trasferimento. Quando la forza del pedale cambia, un polo del sistema si sposta verso destra, mentre l'altro si sposta verso sinistra. Questi poli alla fine convergono in un punto specifico, prima di divergere nel piano complesso, influenzando i poli a circuito chiuso del sistema.

Il metodo del luogo delle radici, illustra visivamente come le variazioni nella forza del pedale, influiscono sulla risposta del sistema. A basse forze del pedale, il sistema è sovrasmorzato, il che significa che torna alla velocità desiderata senza oscillare, ma potrebbe impiegare più tempo. A una forza specifica, il sistema è criticamente smorzato, ottenendo il ritorno più rapido alla velocità desiderata senza overshooting. A forze del pedale elevate, il sistema diventa sottosmorzato, con conseguenti oscillazioni attorno alla velocità desiderata, prima di stabilizzarsi.

È importante notare che il luogo delle radici di questo sistema non attraversa mai il semipiano destro del piano s, assicurando che il sistema rimanga stabile indipendentemente dalla forza applicata sul pedale. Questa stabilità è una caratteristica fondamentale per il funzionamento affidabile del sistema cruise control.

Il metodo del luogo delle radici non è utile solo per analizzare sistemi di secondo ordine, ma si dimostra prezioso anche per sistemi di ordine superiore, fornendo approfondimenti sul comportamento del sistema e aiutando nella progettazione di meccanismi di controllo robusti. Sfruttando l'analisi del luogo delle radici, gli ingegneri possono ottimizzare le prestazioni di sistemi complessi come il cruise control, assicurandosi che rimangano stabili e reattivi, in ​​varie condizioni operative.