24.3 : Méthode du lieu des racines

Le régulateur de vitesse d'une voiture est conçu pour maintenir automatiquement une vitesse spécifiée en ajustant la pédale d'accélérateur. Le système mesure en permanence la vitesse du véhicule et effectue des réglages précis de la pédale pour atteindre cet objectif. La méthode du lieu des racines est particulièrement utile pour comprendre comment le comportement du régulateur de vitesse varie en cas de changements, par exemple dans une montée, ou descente ou une forte résistance au vent.

Ce système peut être représenté par un schéma-bloc, avec sa fonction de transfert donnant un modèle mathématique. Pour déterminer les emplacements des pôles du système pour différentes forces exercées sur la pédale d'accélérateur, la formule quadratique est appliquée au dénominateur de la fonction de transfert. Lorsque la force exercée sur la pédale change, un pôle du système se déplace vers la droite tandis que l'autre se déplace vers la gauche. Ces pôles convergent finalement vers un point spécifique avant de diverger dans le plan complexe, influençant les pôles en boucle fermée du système.

La méthode du lieu des racines illustre visuellement l'impact des variations de la force exercée sur la pédale sur la réponse du système. À faible force exercée sur la pédale, le système est suramorti, ce qui signifie qu'il revient à la vitesse souhaitée sans osciller, mais peut prendre plus de temps. À une force spécifique, le système est amorti de manière critique, ce qui permet un retour plus rapide à la vitesse souhaitée sans dépassement. À force élevée exercée sur la pédale, le système devient sous-amorti, ce qui entraîne des oscillations autour de la vitesse souhaitée avant de se stabiliser.

Il est important de noter que le lieu des racines de ce système ne traverse jamais le demi-plan droit du plan complexe, ce qui garantit que le système reste stable quelle que soit la force appliquée sur la pédale. Cette stabilité est une caractéristique essentielle pour le fonctionnement fiable du régulateur de vitesse.

La méthode du lieu des racines n'est pas seulement utile pour analyser les systèmes de second ordre, mais elle s'avère également précieuse pour les systèmes d'ordre supérieur, en fournissant des informations sur le comportement du système et en aidant à la conception de mécanismes de contrôle robustes. En exploitant l'analyse du lieu des racines, les ingénieurs peuvent optimiser les performances de systèmes complexes comme le régulateur de vitesse, en s'assurant qu'ils restent stables et réactifs dans diverses conditions de fonctionnement.