15.5 : קטבים ויציבות מערכת

פונקציית התמסורת היא מושג בסיסי המייצג את היחס בין שני פולינומים. המונה והמכנה של פונקציה זו מגלמים את הדינמיקה של המערכת. האפסים והקטבים של פונקציית התמסורת הם קריטיים להבנת ההתנהגות והיציבות של המערכת.

קטבים פשוטים הם שורשים ייחודיים של פולינום המכנה. כל קוטב פשוט מתאים לפתרון ייחודי של משוואת האפיון של המערכת, מה שבדרך כלל גורם למונחים של דעיכה אקספוננציאלית בתגובת המערכת.

קטבים חוזרים, המופיעים יותר מפעם אחת במכנה, מעידים על התנהגות מערכת מורכבת יותר. קטבים אלו מצביעים על התנהגות תנודתית או קצב דעיכה איטי יותר, מה שמוביל למונחים הכוללים את t^n e^σt בתגובת המערכת בזמן, כאשר n הוא החזרתיות של הקוטב, ו- σ הוא החלק הממשי של הקוטב.

קטבים מרוכבים כוללים גם חלק ממשי וגם חלק מדומה, וגורמים לרכיבים תנודתיים בתגובת המערכת. קטבים אלו מופיעים בדרך כלל בזוגות מרוכבים מצמידים, σ±jω, מה שמוביל לתגובות הכוללות מונחי סינוס וקוסינוס המודולציה על ידי דעיכה אקספוננציאלית:

e^σt(cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt))

ציבות של מערכת לינארית קבועת זמן (LTI) ננקבעת על ידי מיקומם של הקטבים במישור ה-S. עבור יציבות קלט חסום פלט חסום (BIBO), כל הקטבים חייבים להיות בחצי המישור השמאלי (LHP), מה שמבטיח שכל תגובה לאימפולס דועכת עם הזמן. קטבים חוזרים בחצי המישור השמאלי עדיין תורמים ליציבות, אך עם דעיכה איטית יותר בשל הסדר הגבוה יותר של תגובת המערכת.

לעומת זאת, קטבים בחצי המישור הימני (RHP) מובילים לחוסר יציבות, שכן קטבים אלו גורמים לגידול אקספוננציאלי בתגובת המערכת, מה שמוביל לפלט לא חסום אפילו עבור קלטים חסומים.

פונקציות רציונליות תקניות הן כאלה שבהן דרגת המונה קטנה או שווה לדרגת המכנה, והן עוקבות אחר כללי יציבות הדומים לפונקציות רציונליות תקניות קפדניות. פונקציות רציונליות לא תקניות, שבהן דרגת המונה גבוהה מדרגת המכנה, אינן יציבות BIBO, משום שפונקציות כאלה מרמזות שהפלט יכול להפוך לא חסום עבור קלטים חסומים, מה שמפר את עקרון החסימות.

לסיכום, הקטבים של פונקציית התמסורת—בין אם הם פשוטים, חוזרים או מרוכבים—הם מרכזיים להבנת התגובה והיציבות של המערכת. מיקום הקטבים במישור ה-S קובע אם המערכת תציג התנהגות יציבה או תהפוך ללא יציבה, כאשר פונקציות רציונליות תקניות ולא תקניות מספקות שכבות נוספות של יציבות.