15.5 : Estabilidad de polos y sistemas

La función de transferencia es un concepto fundamental que representa la relación de dos polinomios. El numerador y el denominador encapsulan la dinámica del sistema. Los ceros y los polos de esta función de transferencia son fundamentales para determinar el comportamiento y la estabilidad del sistema.

Los polos simples son raíces únicas del polinomio del denominador. Cada polo simple corresponde a una solución distinta de la ecuación característica del sistema, lo que generalmente da como resultado términos de decaimiento exponencial en la respuesta del sistema.

Los polos repetidos, que aparecen más de una vez en el denominador, indican un comportamiento más complejo del sistema. Estos polos sugieren un comportamiento oscilatorio o tasas de decaimiento más lentas, lo que genera términos t^n e^σt que involucran la respuesta del dominio del tiempo, donde n es la multiplicidad del polo y σ es la parte real del polo.

Los polos complejos tienen partes reales e imaginarias, lo que da como resultado componentes oscilatorios en la respuesta del sistema. Estos polos suelen aparecer en pares conjugados, σ±jω, lo que genera respuestas que involucran términos seno y coseno modulados por una disminución exponencial, e^σt(cos⁡(ωt)+jsin⁡(ωt)).

La estabilidad de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) está determinada por las ubicaciones de sus polos en el plano s. Para la estabilidad de entrada limitada, salida limitada (BIBO), todos los polos deben estar en el semiplano izquierdo (LHP), lo que garantiza que cada respuesta al impulso decaiga con el tiempo. Los polos repetidos en el LHP contribuyen a la estabilidad, pero con una disminución más gradual debido al mayor orden de la respuesta del sistema.

Por el contrario, los polos en el semiplano derecho (RHP) conducen a la inestabilidad, ya que estos polos causan un crecimiento exponencial en la respuesta del sistema, lo que resulta en una salida ilimitada incluso para entradas limitadas.

Las funciones racionales propias tienen un grado de numerador menor o igual al grado del denominador y siguen reglas de estabilidad similares a las funciones estrictamente propias. Las funciones racionales impropias, en las que el grado del numerador excede el grado del denominador, no son inherentemente estables en términos de BIBO. Esto se debe a que dichas funciones implican que la salida puede volverse ilimitada para señales de entrada acotadas, violando así el principio de acotación.

En resumen, los polos de una función de transferencia (ya sea simple, repetida o compleja) son fundamentales para comprender la respuesta y la estabilidad del sistema. La ubicación de estos polos en el plano s determina si el sistema exhibe un comportamiento estable o se vuelve inestable, y las funciones racionales propias e impropias brindan capas adicionales de estabilidad.