15.5 : 极点与系统稳定性
传递函数是一个基本概念，能够用来表示两个多项式的比值。其中的分子和分母概括了系统的动态。该传递函数的零点和极点对于确定系统的行为和稳定性来说是至关重要的。
简单极点是分母多项式中唯一的根。每个简单极点都会对应系统特征方程中的一个唯一解，这通常会使其能够在系统响应中产生指数衰减项。
在分母中多次出现的重复极点表明了：该系统的行为更为复杂。这些极点表明了振荡行为或较慢的衰减速率，从而导致时域响应中会涉及到有关 t^n e^σt 的项，其中的 n 是极点的倍率，σ 是极点的实部。
复杂极点中既有实部也有虚部，从而使其能够在系统相应中产生振荡分量。这些极点通常会以共轭对（σ±jω）的形式出现，从而导致响应中的正弦项和余弦项受到指数衰减的调制，e^σt (cos(ωt)+jsin(ωt))。
线性时不变（LTI）系统的稳定性取决于其极点在 s 平面中的位置。为了能够实现有界输入、有界输出（BIBO）的稳定性，所有的极点都必须位于左半平面（LHP），以此来确保每个脉冲的响应都会随时间衰减。左半平面中的重复极点有助于提高其稳定性，但由于系统响应阶数是不断增加的，其衰减就会变得更加缓慢。
相反，右半平面（RHP）中的极点会导致其变得不稳定，因为这些极点会导致系统响应呈指数趋势增长，即使其中的输入是有界的，也会产生无界输出。
正则有理函数中分子的次数通常会小于或等于分母的次数，并且遵循与严格正则函数类似的稳定性规则。假有理函数中分子的次数大于分母的次数，那么其在本质上并不具有有界输出的稳定性。这是因为这类函数意味着对于有界的输入信号来说，其输出可能会变得无界，从而违反了有界性原则。
总之，传递函数的极点（无论是简单、重复还是复杂）对于理解系统的响应和稳定性来说是至关重要的。这些极点在 s 平面中的位置决定了系统是会表现出稳定的行为还是会变得不稳定，正则有理函数和非正则有理函数则为其提供了额外的稳定性。
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