19.7 : Relazione tra DFT e Z-Transform

La trasformata discreta di Fourier (DFT) è uno strumento fondamentale per analizzare il contenuto di frequenza dei segnali a tempo discreto. Converte una sequenza di N campioni dal dominio del tempo nella sua sequenza corrispondente nel dominio della frequenza, dove ogni campione rappresenta una componente di frequenza specifica.

Per comprendere il funzionamento della DFT, è utile considerare la trasformata z, che è un metodo per rappresentare sequenze discrete nel dominio della frequenza complessa. La trasformata z comporta la somma dei termini della sequenza, ciascuno moltiplicato per la potenza di un numero complesso. Per sequenze che iniziano in un punto specifico nel tempo e si estendono in avanti (sequenze causali), la trasformata z può essere espressa come una somma infinita o finita, a seconda della lunghezza della sequenza.

Valutando la trasformata z in N punti equidistanti attorno al cerchio unitario nel piano complesso, si ottengono i valori che corrispondono ai coefficienti DFT. Questi punti sono le radici dell'unità e la valutazione della trasformata z in questi punti campiona efficacemente il contenuto di frequenza del segnale a quelle frequenze specifiche.

Quindi, la DFT può essere vista come un'applicazione specifica della trasformata z, focalizzata sulla valutazione della sequenza in queste posizioni precise sul cerchio unitario. Questo processo traduce le sequenze del dominio del tempo nelle loro controparti del dominio della frequenza, rendendo possibile l'analisi delle diverse componenti di frequenza dei segnali a tempo discreto.

La capacità della DFT di rivelare il contenuto della frequenza dei segnali evidenzia la sua importanza nell'elaborazione del segnale digitale e negli altri campi correlati. È ampiamente usata in applicazioni come l'elaborazione del segnale audio, l'analisi delle immagini e i sistemi di comunicazione. Inoltre, la trasformata di Fourier veloce (FFT) è un algoritmo efficiente comunemente usato per calcolare la DFT, consentendo l'elaborazione in tempo reale dei segnali.