19.7 : Relation entre la DFT et la transformée en Z

La transformée de Fourier discrète (DFT) est un outil essentiel pour analyser le contenu fréquentiel des signaux à temps discret. Elle convertit une séquence de N échantillons du domaine temporel en sa séquence correspondante dans le domaine fréquentiel, où chaque échantillon représente une composante fréquentielle spécifique.

Pour comprendre le fonctionnement de la DFT, il est utile de considérer la transformée en z, qui est une méthode de représentation de séquences discrètes dans le domaine fréquentiel complexe. La transformée en z consiste à additionner les termes de la séquence, chacun multiplié par la puissance d'un nombre complexe. Pour les séquences qui commencent à un moment précis dans le temps et progressent vers l'avant (séquences causales), la transformée en z peut être exprimée comme une somme infinie ou finie, selon la longueur de la séquence.

En évaluant la transformée en z à N points également espacés autour du cercle unité dans le plan complexe, les valeurs qui correspondent aux coefficients de la DFT sont obtenues. Ces points sont les racines de l'unité, et l'évaluation de la transformée en z à ces points échantillonne efficacement le contenu en fréquence du signal à ces fréquences spécifiques.

Ainsi, la DFT peut être considérée comme une application spécifique de la transformée en z, axée sur l'évaluation de la séquence à ces emplacements précis sur le cercle unité. Ce processus traduit les séquences du domaine temporel en leurs équivalentes dans le domaine fréquentiel, ce qui permet d'analyser les différentes composantes de fréquence des signaux à temps discret.

La capacité de la DFT à révéler le contenu en fréquence des signaux souligne son importance dans le traitement du signal numérique et d'autres domaines connexes. Elle est largement utilisée dans des applications telles que le traitement du signal audio, l'analyse d'images et les systèmes de communication. De plus, la transformée de Fourier rapide (FFT) est un algorithme efficace couramment utilisé pour calculer la DFT, permettant le traitement en temps réel des signaux.