14.7 : Stabilità BIBO di sistemi a tempo continuo e discreto

La stabilità del sistema è un concetto fondamentale nell'elaborazione del segnale, spesso valutato tramite convoluzione. Affinché un sistema sia considerato stabile a ingresso limitato e ad uscita limitata (BIBO), qualsiasi segnale di ingresso limitato deve produrre un segnale di uscita limitato. Un segnale di ingresso limitato è un segnale in cui il modulo non supera una certa costante in nessun punto nel tempo.

Per determinare la stabilità BIBO, l'integrale di convoluzione viene usato quando un ingresso a tempo continuo limitato viene applicato ad un sistema lineare tempo-invariante (LTI). La limitatezza del segnale di ingresso rappresentata da una costante e dall'integrale di convoluzione aiuta a determinare se l'uscita rimane limitata. Matematicamente, questo significa che se l'integrando dell'integrale di convoluzione è finito, lo sarà anche l'uscita. Nello specifico, un sistema a tempo continuo è BIBO stabile se la sua risposta all'impulso è integrabile, ovvero l'integrale del valore assoluto della risposta all'impulso è finito e rappresentato come:

Questa condizione assicura che l'output rimanga entro i limiti per qualsiasi segnale di input limitato, confermando così la stabilità del sistema.

Lo stesso principio si applica ai sistemi a tempo discreto. La stabilità BIBO nei sistemi a tempo discreto è determinata grazie alla sommatoria della serie di convoluzione. Per un sistema a tempo discreto, l'output è finito se il termine di sommatoria ha un valore finito, indicando che il sistema è BIBO stabile se la sua risposta all'impulso è sommabile come indicato nell'espressione seguente.

In altre parole, se la somma dei valori assoluti della risposta all'impulso è finita, il sistema produrrà un output limitato per qualsiasi input limitato, confermando la stabilità BIBO.

L'importanza della stabilità BIBO risiede nella sua applicazione ai sistemi del mondo reale, dove è fondamentale garantire che gli output rimangano entro i limiti accettabili in risposta a input limitati. La comprensione e l'applicazione dei concetti di integrali di risposta impulsiva e di convoluzione sono essenziali per progettare e analizzare i sistemi stabili sia nei domini continui che in quelli a tempo discreto.