14.7 : יציבות BIBO של מערכות בזמן רציף ובזמן בדיד

אחד המושגים הבסיסיים בעיבוד אותות הוא יציבות מערכת, אשר לעיתים קרובות נמדדת באמצעות קונבולוציה. כדי שמערכת תיחשב כיציבה במובן של כניסה חסומה - יציאה חסומה (BIBO), כל אות קלט חסום חייב להפיק אות פלט חסום. אות קלט חסום הוא כזה שבו המודולוס שלו אינו עולה על קבוע מסוים בכל נקודה בזמן.

כדי לקבוע יציבות BIBO, משתמשים באינטגרל הקונבולוציה כאשר אות קלט חסום בזמן רציף מופעל על מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI). החסימה של אות הקלט מיוצגת באמצעות קבוע, ואינטגרל הקונבולוציה עוזר לקבוע אם הפלט נשאר חסום. מבחינה מתמטית, משמעות הדבר היא שאם פונקציית האינטגרל בקונבולוציה היא סופית, הפלט גם יהיה סופי. באופן ספציפי, מערכת בזמן רציף היא יציבה במובן של BIBO אם התגובה להלם שלה היא אינטגרבילית, כלומר אם האינטגרל של הערך המוחלט של התגובה להלם הוא סופי ומיוצג כך:

תנאי זה מבטיח שהפלט יישאר בגבולות עבור כל אות קלט חסום, ובכך מאשר את יציבות המערכת.

עיקרון דומה חל גם על מערכות בזמן בדיד. יציבות BIBO במערכות בזמן בדיד נקבעת באמצעות סכימה של סדרת הקונבולוציה. עבור מערכת בזמן בדיד,

במילים אחרות, אם סכום הערכים המוחלטים של התגובה להלם הוא סופי, המערכת תפיק פלט חסום עבור כל קלט חסום, ובכך תאושר יציבות BIBO.

החשיבות של יציבות BIBO טמונה ביישומה במערכות בעולם האמיתי, שבהן הבטחת פלטים שנשארים בתוך גבולות מקובלים בתגובה לקלטים חסומים היא קריטית. הבנה ויישום של מושגי הקונבולוציה ואינטגרלים של תגובה להלם הם חיוניים לתכנון ולניתוח מערכות יציבות הן במישור הזמן הרציף והן במישור הזמן הבדיד.