17.1 : Transformée de Fourier en temps continu

La série de Fourier joue un rôle essentiel dans la représentation des fonctions périodiques, offrant une méthode puissante pour décomposer ces fonctions en une somme de sinusoïdes. Cette technique doit cependant être modifiée lorsqu'elle est appliquée à des fonctions non périodiques. Prenons l’exemple une forme d'onde de train d'impulsions composée d'une série d'impulsions rectangulaires. Lorsque ces impulsions ont une période finie, elles peuvent être représentées avec précision par une série de Fourier. Cependant, lorsque la période s’approche de l'infini, ce qui donne une seule impulsion isolée, la sommation discrète de la série de Fourier se transforme en une intégrale continue, connue sous le nom de transformée de Fourier.

La transition de la série de Fourier à la transformée de Fourier est essentielle pour l'analyse des fonctions non périodiques. La série de Fourier décompose une fonction périodique x(t) en une somme de sinus et de cosinus, exprimée comme suit :

Où x_n sont les coefficients de Fourier et ω_0 est la fréquence angulaire fondamentale. Lorsque la période de la fonction s'étend à l'infini, la fréquence fondamentale ω_0 tend vers zéro et la somme des fréquences discrètes nω_0 se transforme en une intégrale sur une variable de fréquence continue ω :

Cette intégrale définit la transformée de Fourier X(ω), qui représente la fonction d’origine x(t) dans le domaine fréquentiel.

Le scepticisme initial concernant la représentation de toute fonction périodique par des sinusoïdes, a conduit à l'établissement des conditions de Dirichlet. Ces conditions fournissent des critères selon lesquels une fonction périodique peut être développée en termes de sinusoïdes. Plus précisément, une fonction x(t) peut être représentée par une série de Fourier si la fonction présente des discontinuités finies, un nombre fini de maxima et de minima, et si elle est absolument intégrable sur la période.

Dans les applications pratiques, notamment dans le traitement de l'image, la transformée de Fourier joue un rôle crucial. Elle permet d'améliorer les images et de filtrer le bruit, ce qui rend les détails plus distincts et plus nets. En transformant une image dans le domaine fréquentiel, diverses techniques de filtrage peuvent être appliquées pour accentuer certaines caractéristiques ou réduire le bruit, puis la transformée de Fourier inverse est utilisée pour reconvertir l'image traitée dans le domaine spatial. Cette approche est fondamentale dans l'analyse d'images modernes, permettant des techniques avancées en imagerie médicale, en télédétection et en photographie numérique.