27.8 : Castiglianos Theorem: Problemlösung

Die Durchbiegung eines einfach gestützten Balkens, der eine zentrale Punktlast trägt, kann mithilfe von Prinzipien der Strukturmechanik analysiert werden, insbesondere durch Anwendung des Castigliano-Theorems. Dieses Theorem setzt die Verschiebung am Lastangriffspunkt mit den partiellen Ableitungen der Dehnungsenergie in der Struktur in Beziehung. Der einfach gestützte Balken mit einer Punktlast in seiner Mitte hat symmetrische Reaktionskräfte an den Stützen, die jeweils die Hälfte der Last tragen. Das Biegemoment an jedem Punkt entlang des Balkens wird aus diesen Reaktionen abgeleitet, berechnet über den Abstand von der nächsten Stütze.

Der Satz von Castigliano besagt, dass die Durchbiegung am Punkt, an dem die Last angewendet wird, durch Differenzieren der Dehnungsenergie des Balkens in Bezug auf die Last bestimmt wird. Die Dehnungsenergie wird basierend auf dem Biegemoment entlang des Balkens berechnet, das über seine Länge integriert wird. Für diesen Balken wird die Dehnungsenergie aufgrund der Biegung aus dem Quadrat des Biegemomentausdrucks berechnet, das über die halbe Balkenlänge integriert wird.

Da der Balken symmetrisch ist, wird dieser Wert verdoppelt, um den gesamten Balken zu berücksichtigen, und die Durchbiegung in der Mitte des Balkens wird berechnet. Sie hängt von der Lastgröße und der dritten Potenz der Balkenlänge ab und ist umgekehrt proportional zum Produkt aus Trägheitsmoment und Elastizitätsmodul des Balkenquerschnitts.