23.7 : معيار روث-هورويتز الثاني

في تطبيق معيار روث-هورويتز، يمكن أن تنشأ حالتان محددتان تؤديان إلى تعقيد تحليل الاستقرار.

يحدث السيناريو الأول عندما يظهر صفر مفرد في العمود الأول من جدول روث. يؤدي هذا الموقف إلى حدوث مشكلات في القسمة على الصفر. لحل هذه المشكلة، يتم استبدال الصفر برقم موجب أو سالب صغير، يشار إليه باسم إبسيلون (ε). يستمر تحليل الاستقرار بافتراض إشارة لـ ε. إذا كانت ε موجبة، فإن أي تغيير في الإشارة في العمود الأول من جدول روث يشير إلى أن النظام غير مستقر، مع وجود قطبين في النصف الأيمن من المستوى-s. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت ε سالبة، يتم التوصل إلى نفس استنتاج عدم الاستقرار.

ينشأ السيناريو الثاني عندما يتكون صف كامل في جدول Routh من أصفار فقط. يشير هذا الحدوث إلى أن متعدده الحدود الأصلية تحتوي على متعدده حدود زوجية كعامل. لمعالجة هذه المشكلة، يتم إنشاء متعدده حدود مساعدة باستخدام المعاملات من الصف الموجود أعلى صف الصفر. ثم يتم عمل التفاضل لمتعدده الحدود المساعدة، وتحل المعاملات من المشتق محل الأصفار في جدول Routh. يستمر الإجراء القياسي لإنشاء جدول Routh المتبقي من هذه النقطة.

عند التعامل مع متعددات الحدود الزوجية والفردية بشكل منفصل، يتم تحديد العدد الإجمالي للأقطاب في المستوى-s في النصف الأيمن من خلال جمع الأقطاب الموجودة في جداول Routh لمتعددات الحدود الزوجية والفردية. تضمن هذه الطريقة تحليلًا شاملاً لاستقرار النظام.

تعتبر هذه الحالات الخاصة ضمن معيار روث-هورويتز بالغة الأهمية لتحديد استقرار النظام بدقة. ومن خلال إدارة الأصفار بعناية في العمود الأول وصفوف الأصفار، يمكن للمهندسين تجنب سوء تفسير استقرار النظام. ويسمح هذا النهج بالتعرف الدقيق على أقطاب المستوى-s في النصف الأيمن، مما يضمن تصميم وتحليل النظام بشكل قوي وموثوق فيه.