9.7 : Frekans Tepkisi

Bode grafiği, kontrol sistemi analizinde önemli bir araçtır; bir sistemin frekans tepkisini, her ikisi de logaritmik bir frekans eksenine karşı bir büyüklük grafiği ve bir faz grafiği aracılığıyla ilişkilendirir. Bir Bode grafiği oluşturmak için H(ω) transfer fonksiyonunu dikkate alalım:

Sabit bir kazanç, sıfırlar ve kutuplara sahiptir. Normalizasyon işleminden sonra transfer fonksiyonu şu şekilde yazılır:

Bu normalize edilmiş fonksiyondaki her bir terim Bode grafiğini farklı şekilde etkiler. 10jω terimi 10'luk sabit bir kazanca sahiptir ve jω orijininde sıfırdır. Her basit kutup terimi (1+jω/ω_i) bir kesme noktası veya köşe frekansı ω_i ortaya çıkarır. Sıfırın pozitif eğimi orijinden itibaren belirginleşirken, kutupların negatif eğimleri sırasıyla ω=2 ve ω=10 olan köşe frekanslarında başlar.

Her bir terimin yaptığı katkı belirlendikten sonra genel Bode grafiği oluşturulabilir. Bu, her bir faktörün eğimlerinin ve faz değişikliklerinin üst üste eklenmesini içerir. Düşük frekanslarda, büyüklük grafiği 20 dB'de başlar (20log_10(10) =20 olduğundan) ve ilk köşe frekansına kadar düz bir yanıt sağlar. Faz grafiği orijindeki sıfır nedeniyle 90°'de başlar ve ilk köşe frekansından önce düşüşe geçer.

Büyüklük grafiğinin eğimi her köşe frekansında değişecek, ω=2'de ve ω=10'da tekrar 20 dB/ons azalacaktır. Buna bağlı olarak faz grafiği, ω=10'dan çok daha yüksek bir frekansta -90°'ye yaklaşarak aşağı doğru bükülecektir.

Son olarak, bu düz çizgilerden oluşan asimptotik Bode grafiği, gerçek frekans tepkisine daha yakın olacak şekilde ayarlanabilir. Bu, her köşe frekansında asimptotik grafiği kesen düzgün bir eğrinin eklenmesini içerir; bu, tipik olarak köşe frekanslarının yakınında tepe noktası olarak bilinen hafif bir aşmaya neden olur.