19.4 : Потенциал скорости

В стационарном несжимаемом потоке через длинную прямую трубу с равномерным поперечным сечением, поток в центральной области (вдали от стенок трубы) является безвихревым. Эта безвихревая природа означает, что частицы жидкости не вращаются вокруг своих осей, и скалярная функция, называемая потенциалом скорости, обозначенная ϕ, может использоваться для описания их движения. В безвихревых потоках поле скорости V определяется как градиент потенциала скорости:

Поскольку взятие ротора градиента всегда даёт ноль, определение скорости в терминах ϕ гарантирует, что поток не имеет завихренности, что делает его безвихревым.

Для несжимаемых потоков уравнение непрерывности гласит, что дивергенция поля скорости должна быть равна нулю:

При подставлении V в это уравнение, уравнение принимает вид:

Такая форма известна как уравнение Лапласа. В областях, где поток является безвихревым и несжимаемым, потенциал скорости ϕ должен удовлетворять уравнению Лапласа.

В случае течения в трубе естественным выбором для описания движения являются цилиндрические координаты (r, θ, z), где r — радиальное расстояние от осевой линии трубы, θ — угловое положение, а z — осевое расстояние вдоль трубы. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах, учитывающее радиальные, угловые и осевые изменения, выражается как:

Нахождение точной формы ϕ в трубе требует граничных условий. Например, на стенках трубы условие отсутствия проскальзывания будет подразумевать нулевую тангенциальную скорость, тогда как в центральной безвихревой области потенциальная функция будет следовать симметрии трубы. Решение уравнения Лапласа с этими условиями определяет потенциал скорости поперек поля потока.

После определения ϕ компоненты скорости в цилиндрических координатах могут быть получены путем взятия частных производных от ϕ. Эти компоненты следующие:

Радиальная скорость:

Угловая скорость

Осевая скорость

Эти выражения для компонентов скорости подтверждают, что поток удовлетворяет безвихревому условию, поскольку они получаются из градиента.