17.8 : Свойства ДВПФ II

При изучении обработки дискретных сигналов понимание свойств дискретного временного преобразования Фурье (ДВПФ) имеет решающее значение для анализа и обработки сигналов в частотной области. Несколько свойств, включая частотную дифференциацию, свертку, накопление и соотношение Парсеваля, предлагают мощные инструменты для анализа сигналов.

Свойство частотного дифференцирования иллюстрируется рассмотрением пары ДВПФ и дифференцированием обеих сторон по ω. Умножая на j (мнимая единица), правая часть преобразуется в преобразование Фурье nx[n]. Математически, если X(e^jω) — это ДВПФ x[n], то j(d/dω(X(e^jω)) — это ДВПФ nx[n]. Это свойство полезно для нахождения частотных характеристик, связанных с наклоном спектра сигнала.

Применяя дискретную временную свёртку к парам ДВПФ, мы наблюдаем еще одно важное свойство. Изменяя порядок суммирования в правой части и применяя свойство сдвига во времени, мы приходим к свойству свёртки во времени. Оно гласит, что свёртка двух сигналов во временном домене соответствует умножению их ДВПФ в частотном домене. И наоборот, умножение двух сигналов во временном домене приводит к периодической свёртке их ДВПФ в частотном домене, масштабированной обратной периода.

Свойство накопления фокусируется на суммировании дискретного по времени сигнала с течением времени. Дискретное по времени преобразование Фурье (ДВПФ) этого накопленного сигнала связано с ДВПФ исходного сигнала, но изменено экспоненциальным масштабным коэффициентом. Кроме того, есть термин, который включает дельта-функцию, которая вводит периодические компоненты с интервалом 2π в частотной области. Это свойство подчеркивает, как накопление во временном домене влияет на частотное представление, приводя к периодическим особенностям.

Соотношение Парсеваля является ключевым результатом, который связывает энергию сигнала во временном домене с его представлением в частотном домене. В частности, полная энергия сигнала x[n], которая является суммой квадратов величин во временном домене, равна интегралу квадратов величин его ДВПФ. Это соотношение является основополагающим при анализе мощности и энергии сигнала в обеих доменах.

Эти свойства в совокупности повышают способность анализировать, проектировать и понимать дискретные по времени системы, делая их незаменимыми в цифровой обработке сигналов.