21.9 : Aproximação Linear no Domínio do Tempo

Sistemas não lineares geralmente exigem abordagens sofisticadas para modelagem e análise precisas, com representação de espaço de estado sendo particularmente eficaz. Este método é especialmente útil para sistemas onde variáveis ​​e parâmetros variam com o tempo ou condições operacionais, como em um pêndulo simples ou um sistema mecânico translacional com molas não lineares.

Para um pêndulo simples com uma massa uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento e o centro de massa localizado na metade do comprimento do pêndulo, o comportamento dinâmico pode ser capturado pela soma de torques em torno do ponto de pivô. A equação diferencial resultante incorpora os efeitos da força gravitacional e do torque aplicado. Para representar isso na forma de espaço de estado, variáveis ​​de estado são escolhidas para descrever a posição e a velocidade do sistema. Essas variáveis ​​de estado levam à formulação de equações de estado, que descrevem a evolução temporal do sistema.

A linearização dessas equações de estado não lineares em torno de um ponto de equilíbrio envolve considerar pequenas perturbações. Ao perturbar as variáveis ​​de estado em torno de seus valores de equilíbrio e aplicar uma expansão da série de Taylor, os termos não lineares podem ser aproximados por suas contrapartes lineares. Esta aproximação produz equações de estado lineares que podem ser analisadas usando a teoria do sistema linear.

No caso de um sistema mecânico translacional com uma mola não linear, a dinâmica do sistema é governada de forma semelhante por uma equação diferencial que considera a força da mola não linear. A introdução de uma pequena perturbação em torno da posição de equilíbrio permite a linearização da equação diferencial. A força de equilíbrio em x_0 (a posição de equilíbrio) é calculada, e a equação perturbada é diferenciada para obter uma equação diferencial linearizada.

A representação final do espaço de estado linearizado envolve a seleção de variáveis ​​de estado apropriadas, que geralmente incluem a posição e a velocidade da massa. Equações de estado e equações de saída são então formuladas. A conversão dessas equações em forma de vetor-matriz fornece um modelo linear abrangente do sistema. Este modelo pode ser analisado usando várias técnicas de controle e estimativa linear, facilitando o design e a implementação de estratégias de controle para sistemas que são inerentemente não lineares.