17.6 : Dyskretna transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (DTFT) jest narzędziem matematycznym do analizy sygnałów dyskretnych, konwertującym je z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości. Ta transformacja umożliwia badanie składowych częstotliwości sygnałów dyskretnych, dostarczając wglądu w ich charakterystyki widmowe. W DTFT całka ciągła jest zastępowana sumowaniem, aby uwzględnić dyskretną naturę sygnału.

Jedną z godnych uwagi właściwości DTFT jest jej okresowość. Widmo Fouriera X(Ω) ma okres 2π. Ta okresowość oznacza, że X(Ω) można przedstawić jako szereg Fouriera, ułatwiając różne techniki analityczne i obliczeniowe. Okresowa natura DTFT umożliwia również obliczenie jej odwrotności, odwrotnej transformaty Fouriera w czasie dyskretnym (IDTFT), która rekonstruuje oryginalny sygnał dyskretny w czasie z jego widma częstotliwości.

Tutaj Ω reprezentuje zmienną częstotliwości, odróżnianą od ciągłej zmiennej częstotliwości, zwykle oznaczanej jako ω. Wynik, X(Ω), jest widmem Fouriera sygnału dyskretnego. Istnienie i zbieżność X(Ω) zależą od sumowalności sygnału dyskretnego w czasie x[n]. Jeśli x[n] jest sumowalne, to X(Ω) istnieje i zbiega się.

Pomimo dyskretnej natury oryginalnego sygnału, X(Ω) jest ciągłą funkcją zmiennej częstotliwości Ω, co podkreśla rolę DTFT jako pomostu między domenami dyskretnymi i ciągłymi. Ta cecha jest kluczowa w różnych praktycznych zastosowaniach, szczególnie w projektowaniu i analizie filtrów cyfrowych stosowanych w przetwarzaniu audio i wideo, systemach komunikacyjnych i przetwarzaniu sygnałów biomedycznych. Podsumowując, DTFT jest narzędziem w przetwarzaniu sygnałów, umożliwiającym analizę i manipulację sygnałami dyskretnymi w dziedzinie częstotliwości. Jego właściwości i zastosowania podkreślają jego znaczenie zarówno w teoretycznych, jak i praktycznych aspektach nowoczesnej inżynierii i technologii.