22.5 : Regola di Mason

La regola di Mason è uno strumento potente per i sistemi di controllo e di elaborazione del segnale. Semplifica il calcolo delle funzioni di trasferimento dai grafici del flusso di segnale. Questo metodo sfrutta vari elementi, tra cui guadagni di loop, guadagni di forward-path e loop non toccanti, per determinare la funzione di trasferimento in modo efficiente.

Il guadagno di loop viene determinato identificando e tracciando un percorso da un nodo a se stesso. Questo comporta il calcolo del prodotto dei guadagni di diramazione lungo il loop. Il guadagno di ogni loop è cruciale per ulteriori calcoli e contribuisce al comportamento complessivo del sistema.

Il guadagno del forward-path viene calcolato tracciando un percorso dal nodo di input a quello di output. Come il guadagno di loop, coinvolge il prodotto dei guadagni lungo questo percorso. I percorsi in avanti rappresentano l'influenza diretta dell'input sull'output e sono essenziali nel determinare la funzione di trasferimento.

I loop non toccanti nel grafico del flusso del segnale non condividono alcun nodo comune. Il guadagno dei loop non toccanti è il prodotto dei guadagni dei singoli loop. Questi loop non toccanti sono significativi in ​​quanto influenzano il calcolo del determinante, Delta (Δ), utilizzato nella regola di Mason.

Delta (Δ) è derivato da una serie alternata di somme che coinvolgono guadagni di loop e guadagni di loop non a contatto presi due o più alla volta. Matematicamente, può essere espresso come:

Δk è una versione modificata di Δ, essa esclude i guadagni di loop che intersecano il k-esimo percorso in avanti. Questa esclusione è fondamentale per determinare con precisione la funzione di trasferimento del sistema.

Per calcolare la funzione di trasferimento di un sistema usando la regola di Mason, si utilizzano i seguenti passaggi:

1. Identificare tutti i guadagni del percorso in avanti (T_k) dall'ingresso all'uscita.
2. Valutare tutti i guadagni del loop (L_i) e identificare quelli non a contatto.
3. Calcolare Δ sommando e sottraendo i prodotti dei guadagni del circuito e dei guadagni del circuito non a contatto come descritto.
4. Per ogni percorso in avanti, calcolare Δ_k escludendo i guadagni dei loop intersecanti.
5. Sostituire questi valori nella regola di Mason, data da:

Attraverso questi passaggi, la regola di Mason fornisce un approccio organizzato e sistematico per derivare la funzione di trasferimento di sistemi complessi, rendendola indispensabile nella teoria del controllo e nell'elaborazione del segnale.