19.5 : Trasformata Z inversa tramite espansione di frazioni parziali

La trasformata z inversa è una tecnica fondamentale per convertire una funzione dalla sua rappresentazione del dominio z al dominio del tempo. Un metodo efficace per trovare la trasformata z inversa è quello delle frazioni parziali, che prevede la scomposizione di una funzione in frazioni più semplici con coefficienti distinti. Queste frazioni corrispondono a coppie di trasformate z note, facilitando il processo di trasformazione inversa.

Per iniziare il processo, vengono identificati i poli della funzione e la funzione viene espressa in termini di questi poli. Ogni polo contribuisce con un termine alla scomposizione della frazione parziale. I coefficienti per ogni termine nella scomposizione vengono determinati valutando i residui in ogni polo.

Una volta determinati i coefficienti, la funzione viene riassemblata nella sua forma scomposta, rendendola più semplice da usare. La trasformata z inversa viene quindi applicata a ogni termine frazionario separatamente. Il risultato combina le funzioni delta, le sequenze esponenziali e le funzioni a gradini che rappresentano la sequenza originale del dominio del tempo.

Attraverso il Partial Fraction Method, la trasformata z inversa delle funzioni complesse diventa più gestibile, consentendo una conversione accurata nel dominio del tempo. Questo metodo si assicura che ogni componente della funzione decomposta venga trasformata correttamente, con una conseguente ricostruzione precisa della sequenza originale.