19.6 : פתרון משוואות הפרשים באמצעות התמרת Z

Most practical discrete-time systems can be represented by linear difference equations, making the z-transform a particularly useful tool.

Knowing the input signal and N initial conditions is necessary for solving an Nth-order difference equation.

For delayed or advanced signals, the z-transform shifts the signal in the z-domain by including multiplication of the inverse of z or z, respectively.

Consider a second-order difference equation characterized by specific coefficients and initial conditions. The input is the unit step function.

Taking the z-transform of each term, the equation transforms into an algebraic expression involving the z-domain representation of the input and output signals.

Solving this algebraic equation for the z-domain output signal provides an expression that can be simplified using partial fraction decomposition.

The coefficients are calculated, and the system's time-domain response is given by the inverse z-transform of the partial fractional expression.

This process demonstrates the power of the z-transform in simplifying the analysis and solution of discrete-time linear systems, making it an essential tool in various digital signal processing and control systems fields.

התמרת Z היא כלי רב עוצמה לניתוח מערכות זמן בדיד מעשיות, המיוצגות לעיתים קרובות על ידי משוואות הפרשים לינאריות. פתרון משוואת הפרשים מסדר גבוה דורש ידע על אות הקלט ועל התנאים ההתחלתיים עד לאיבר אחד פחות מסדר המשוואה.

התמרת Z מקלה על הטיפול באותות מושהים על ידי הזזת האות במישור ה-Z, מה שמתאים לדחיית האות במישור הזמן, וגם מאפשרת הזזת אותות קדימה על ידי הזזה בכיוון ההפוך עבור הקדמת הזמן.

נבחן משוואת הפרשים מסדר שני עם מקדמים ותנאים התחלתיים מסוימים, שבה הקלט הוא פונקציית מדרגה. החלת התמרת Z על כל איבר במשוואה ממירה את משוואת ההפרשים לביטוי אלגברי במישור ה-Z. ביטוי זה כולל את הייצוגים במישור ה-Z של אותות הקלט והפלט.

כדי לפתור עבור אות הפלט במישור ה-Z, ניתן לפשט את המשוואה האלגברית, לעיתים קרובות באמצעות פירוק למנות חלקיות. על ידי קביעת המקדמים של המנות החלקיות, מתקבל ביטוי נוח שניתן להחזירו למישור הזמן באמצעות התמרת Z הפוכה. התגובה המתקבלת במישור הזמן מדגימה את היעילות של התמרת Z בפישוט ניתוח מערכות לינאריות בזמן בדיד.

תהליך זה מדגיש את התועלת של התמרת Z בעיבוד אותות דיגיטליים ובמערכות בקרה. היא מספקת שיטה פשוטה למעבר בין המישור הזמן למישור ה-Z, לפתרון משוואות מורכבות ולהשגת תגובות מערכת מדויקות. חשוב לקחת בחשבון את התנאים ההתחלתיים ואת תחום ההתכנסות בעת יישום התמרת Z כדי להבטיח תוצאות מדויקות ומשמעותיות.

Tags

Z transform Discrete time Systems Difference Equations Linear Difference Equations Delayed Signals Time Domain Z domain Unit Step Function Algebraic Expression Partial Fraction Decomposition Inverse Z transform Digital Signal Processing Control Systems Initial Conditions Region Of Convergence

From Chapter 19:

article

Now Playing

19.6 : פתרון משוואות הפרשים באמצעות התמרת Z

z-Transform

241 Views

article

19.1 : הגדרת התמרת Z

z-Transform

319 Views

article

19.2 : תחום ההתכנסות

z-Transform

370 Views

article

19.3 : תכונות התמרת Z

z-Transform

159 Views

article

19.4 : תכונות התמרת II - Z

z-Transform

100 Views

article

19.5 : התמרת Z הפוכה באמצעות פירוק למנות חלקיות

z-Transform

272 Views

article

19.7 : הקשר בין DFT להתמרת Z

z-Transform

349 Views

Copyright © 2025 MyJoVE Corporation. All rights reserved