23.6 : Critère I de Routh-Hurwitz

Prenons l'exemple d'un réseau électrique, où la stabilité est essentielle pour éviter les pannes de courant. Le critère de Routh-Hurwitz est un outil précieux pour évaluer la stabilité du système dans des conditions de charge ou de défaut variables. En analysant la fonction de transfert en boucle fermée, le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer si le système reste stable.

Pour appliquer le critère de Routh-Hurwitz, un tableau de Routh est construit. Les lignes du tableau sont étiquetées avec les puissances de la variable de fréquence complexe s, en commençant par la puissance la plus élevée. La variable s représente un nombre complexe, généralement sous la forme

où σ est la partie réelle et jω est la partie imaginaire. La première ligne est remplie horizontalement avec tous les autres coefficients du polynôme dénominateur, en commençant par la puissance la plus élevée. La deuxième ligne est ensuite remplie avec les coefficients ignorés de la première ligne.

Les entrées suivantes dans la table Routh sont calculées à l'aide des déterminants des lignes précédentes. Plus précisément, chaque entrée est déterminée en prenant le déterminant négatif des deux entrées qui la précèdent et en le divisant par la première entrée de la colonne directement au-dessus. Ce processus se poursuit jusqu'à ce que la totalité de la table soit remplie.

Pour illustrer cela, considérons un système pour lequel les lignes du tableau de Routh sont calculées. Si nécessaire, chaque ligne est mise à l'échelle indépendamment par une constante positive pour simplifier les calculs. Selon le critère de Routh-Hurwitz, le nombre de racines du polynôme dans le plan complexe de la moitié droite correspond au nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh. Ces changements de signe indiquent une instabilité.

À l'inverse, un système est stable si tous les pôles se trouvent dans la moitié gauche du plan complexe, ce qui signifie qu'il n'y a aucun changement de signe dans la première colonne du tableau de Routh. Le fait de s'assurer qu'aucun changement de signe ne se produit confirme que le système restera stable dans diverses conditions de fonctionnement.

La compréhension et l'application du critère de Routh-Hurwitz sont essentielles pour maintenir la stabilité des systèmes complexes comme les réseaux électriques. En vérifiant que tous les pôles sont situés dans la moitié gauche du plan complexe, les ingénieurs peuvent garantir que le système fonctionnera de manière fiable, évitant ainsi des problèmes tels que des pannes de courant et garantissant une alimentation électrique continue. Cette méthode fournit une approche systématique de l'analyse de la stabilité, identifiant et atténuant l'instabilité potentielle du système.