17.7 : Propriétés de la transformée de Fourier à temps discret I

Dans le traitement du signal, les transformées de Fourier à temps discret (DTFT) jouent un rôle essentiel dans l'analyse des signaux à temps discret dans le domaine fréquentiel. Diverses propriétés des DTFT telles que la linéarité, le décalage temporel, le décalage de fréquence, l'inversion temporelle, la conjugaison et la mise à l'échelle temporelle aident à comprendre et à manipuler ces signaux pour différentes applications.

La propriété de linéarité des DTFT est fondamentale. Si deux signaux à temps discret sont multipliés par les constantes a et b respectivement, puis combinés pour former un signal résultant, la DTFT de ce signal résultant est la somme pondérée des DTFT des signaux individuels.

La propriété de décalage temporel des DTFT indique que le retard d'un signal de n_0 unités dans le domaine temporel introduit un déphasage de e^−jωn0 dans sa DTFT.

La propriété de décalage fréquentiel se manifeste lorsqu'un signal discret dans le temps x[n] est multiplié par une exponentielle complexe e^jω0n. Cette multiplication décale les composantes de fréquence du signal de ω_0.

L'inversion temporelle montre une autre propriété fascinante. Si un signal x[n] est inversé dans le temps, c'est-à-dire x[−n], sa représentation dans le domaine fréquentiel se reflète autour de l'origine.

La propriété de conjugaison révèle que la prise du conjugué complexe d'un signal x[n], noté x∗[n], donne la DTFT X∗(e^−jω), qui reflète et conjugue les composantes de fréquence.

Enfin, la propriété de mise à l'échelle temporelle démontre que si un signal à temps discret est mis à l'échelle par un facteur k, le signal conserve des valeurs uniquement à des intervalles qui sont des multiples de k. La DTFT du signal mis à l'échelle x[kn] comprime les composantes de fréquence par k. Par conséquent, la DTFT de x[kn] est X(e^jωk), ce qui montre la compression des composantes de fréquence par le facteur k.

La compréhension de ces propriétés permet un traitement efficace du signal, facilitant ainsi diverses applications telles que le filtrage, la modulation et l'analyse du signal.