23.3 : أنظمة الدرجة الثانية

يُعَد نظام المؤازرة مثالاً على نظام من الدرجة الثانية، حيث يشتمل على وحدة تحكم متناسبة وعناصر تحميل تضمن محاذاة موضع الإخراج مع موضع الإدخال. يتم وصف العلاقة بين هذه المكونات بواسطة معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية. يؤدي تطبيق تحويل لابلاس في ظل ظروف أولية صفرية إلى الحصول على دالة النقل، والتي توضح كيفية تحويل المدخلات إلى مخرجات في النظام.

من خلال إعادة تفسير النظام، يمكن للمرء أن يستنتج دالة نقل الحلقة المغلقة، والتي تميز الأنظمة من الدرجة الثانية على أنها تلك التي تحتوي على قطبين. يمكن إعادة ترتيب دالة نقل الحلقة المغلقة هذه لتسليط الضوء على المعلمات الأساسية: التردد الطبيعي غير المخمّد ونسبة التخميد.

نسبة التخميد (ζ) هي معلمة حرجة يتم تعريفها على أنها نسبة التخميد الفعلي إلى التخميد الحرج. وهي توفر نظرة ثاقبة لسلوك النظام واستقراره. مع تحديد هذه المعلمات، غالبًا ما تتم إعادة كتابة دالة نقل الحلقة المغلقة في شكل قياسي لتمثيل النظام من الدرجة الثانية بشكل شامل:

هنا، يشير ωn إلى التردد الطبيعي غير المخمَّد، ويمثل ζ نسبة التخميد. تصنف نسبة التخميد استجابة النظام على النحو التالي:

ناقص التخميد (0 < ζ < 1): يظهر النظام سلوكًا تذبذبيًا بسعة متناقصة تدريجيًا، مما يشير إلى تذبذبات حول نقطة التوازن قبل الاستقرار.

مُخمَّد بشكل حرج (ζ = 1): يعود النظام إلى التوازن بأسرع ما يمكن دون تذبذب، وهو أمر مرغوب فيه غالبًا في أنظمة المؤازرة للتمركز السريع والسلس.

التخميد الزائد (ζ > 1): يعود النظام إلى التوازن دون تذبذبات ولكن بشكل أبطأ مقارنة بالنظام المثبط بشكل حرج، مما يؤدي إلى وقت استجابة أبطأ، والذي قد يكون أقل مرغوبية في التطبيقات التي تتطلب تعديلات سريعة.

إن فهم هذه المعلمات وتأثيرها على استجابة النظام أمر بالغ الأهمية لتصميم وضبط أنظمة المؤازرة لتلبية معايير الأداء المحددة. إن تحليل الأنظمة من الدرجة الثانية من خلال وظائف النقل وخصائص التخميد يسمح للمهندسين بالتنبؤ بسلوك النظام وتحسينه في ظل ظروف تشغيل مختلفة.