17.4 : خصائص تحويل فورييه الثاني

تحويل فورييه (FT) هو أداة رياضية أساسية في معالجة الإشارات، حيث يحول إشارة المجال الزمني إلى تمثيلها في المجال الترددي. يوضح هذا التحويل العلاقة بين المجالين الزمني والترددي من خلال عدة خصائص، كل منها يكشف عن جوانب فريدة لسلوك الإشارة.

تسلط خاصية تحويل التردد في تحويلات فورييه الضوء على أن التحول في المجال الترددي يتوافق مع تحول الطور في المجال الزمني. رياضيًا، إذا كان 𝑥(𝑡) له تحويل فورييه 𝑥(f)، فإن e^(j2πf_0t)𝑥(𝑡) له تحويل فورييه 𝑋(𝑓−𝑓_0). هذه الخاصية أساسية في البث الإذاعي، حيث يعمل تحويل التردد على تعديل إشارة الناقل بإشارة إدخال، مما يسمح بالإرسال المتزامن لقنوات متعددة من خلال تعيين نطاقات تردد مختلفة لكل قناة.

تنص خاصية التفاضل الزمني على أن تحويل فورييه لمشتق الدالة x(t) يعطى بواسطة j2πfX(f)، حيث X(f) هو تحويل فورييه لـ x(t). وهذا يعني أن التفاضل في المجال الزمني يتوافق مع الضرب بـ j2πf في المجال الترددي. إن فهم هذه الخاصية أمر بالغ الأهمية لتحليل كيفية تأثير التغيرات الزمنية، مثل تلك التي يتم تقديمها بواسطة تأخيرات البث المستندة إلى المنطقة الزمنية، على الإشارات.

تكمل خاصية التفاضل الترددي التمايز الزمني، وتؤكد على الترابط العميق بين المجالين الزمني والترددي. إنها تُظهر أن التفاضل بين الدالة في المجال الترددي يتوافق مع الضرب في المجال الزمني بـ −j2πt.

تكشف خاصية الازدواجية عن تناسق عميق بين المجالين الزمني والترددي. إذا كان X(f) هو تحويل فورييه لـ x(t)، فإن x(f) هو تحويل فورييه لـ X(−t). تؤكد هذه الازدواجية على العلاقة الشبيهة بالمرآة بين هذين المجالين، حيث تنعكس التحويلات في مجال واحد في المجال الآخر، مع عكس الإشارة في المصطلح الأسي للتكامل فورييه.

أخيرًا، تُعد خاصية الالتفاف محورية في معالجة الإشارات. فهي تؤكد أن تحويل فورييه للالتفاف بين دالتين في مجال زمني هو حاصل تحويلات فورييه الفردية الخاصة بكل منهما. إذا تم الالتفاف على x(t) وh(t) لإنتاج y(t)، فإن Y(f) = X(f)H(f)، حيث Y(f) وX(f) وH(f) هي تحويلات فورييه لـ 𝑦(𝑡) وx(t) وh(t)، على التوالي. تبسط هذه الخاصية الجمع بين إشارات متعددة وتستخدم على نطاق واسع في الترشيح وتحليل النظام.

تعمل خصائص تحويل فورييه هذه مجتمعة على تعزيز فهمنا لسلوك الإشارة عبر مجالات الوقت والتردد، مما يوفر إطارًا قويًا لتحليل الإشارات والتلاعب بها في تطبيقات مختلفة، من البث الإذاعي إلى معالجة الصوت.