16.7 : متسلسلة فورييه المتقطعة-الزمنية

تُعدُّ سلسلة فورييه المنفصلة الزمن مفهومًا أساسيًا في معالجة الإشارات، حيث تعمل كنظير للزمن المنفصل لسلسلة فورييه المتصلة الزمن. وهي تسمح بتمثيل وتحليل الإشارات الدورية المنفصلة الزمن من حيث مكونات ترددها. وعلى عكس نظيرتها المستمرة، التي تستخدم التكاملات، فإن حساب معاملات توسيع سلسلة فورييه المنفصلة الزمن ينطوي على عمليات جمع بسبب الطبيعة المنفصلة للإشارة.

بالنسبة لإشارة دورية منفصلة الزمن x[n] ذات فترة N_0، يتم حساب معاملات سلسلة فورييه المنفصلة الزمن X[k] باستخدام الصيغة:

حيث k=0,1,2,...,N_0−1. تمثل هذه المعاملات X[k] الإشارة في مجال التردد، وتلتقط سعة وطور كل مكوّن تردد.

لتحديد استجابة نظام خطي مستقل زمنيًا (LTI) لإشارة دورية منفصلة الوقت، يتم اتباع نهج منهجي:

1. حساب DTFS لإشارة الإدخال: احسب معاملات DTFS X[k] لإشارة الإدخال x[n].
2. احسب استجابة الإخراج لكل مصطلح DTFS: استخدم استجابة التردد للنظام H(e^(jΩ)) لتحديد الإخراج لكل مكون تردد. معاملات DTFS الناتجة Y[k] معطاة بواسطة

   

   حيث Ω =2πk/N

3. جمع الاستجابات: أخيرًا، اجمع مساهمات جميع مصطلحات DTFS للحصول على إجمالي إشارة الإخراج في مجال الوقت.

في الإشارات المستمرة، يتم تعريف الدورية فيما يتعلق بفترة T، والتي تتوافق مع الترددات الدائرية والزاوية. بالنسبة لإشارة زمنية منفصلة، ​​ترتبط الدورية بتردد زاوي أساسي Ω_k =2πk/N_0 ، حيث N_0 هي فترة الإشارة المنفصلة. إن توسع DTFS محدود، ويتكون من N مصطلحات، على النقيض من السلسلة اللانهائية في سلسلة فورييه المستمرة.

يلعب DTFS دورًا حاسمًا في معالجة الإشارات الرقمية (DSP)، وخاصة في تحليل ومعالجة الإشارات الدورية المستمدة من البيانات المأخوذة من العينات. إنه مفيد في مهام مثل تحديد ترددات معينة داخل الإشارات الصوتية، وتعزيز أو قمع مكونات تردد معينة، وتصفية الضوضاء غير المرغوب فيها. من خلال تحويل الإشارات إلى مجال التردد، يسهل DTFS تحليل ومعالجة الإشارات بكفاءة، مما يتيح تحسين الأداء في تطبيقات مختلفة مثل الاتصالات السلكية واللاسلكية، وهندسة الصوت، وأنظمة التحكم.